[乐山一调]乐山市高中2023届第一次调查研究考试文理 数学

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[乐山一调]乐山市高中2023届第一次调查研究考试文理 数学试卷答案

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8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1）
（1）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；
（2）若对于$?t∈[{0，\sqrt{e}-1}]$，总存在x₁，x₂∈（-1，4），且x₁≠x₂满足f（x_i）=g（t）（i=1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．

分析（1）曲线C的方程为x²+y²-3x=0，整理得其标准方程，即可求出曲线C所在圆的圆心坐标；
（2）通过联立直线L与圆C₁的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．

解答解：（1）∵曲线C的方程为x²+y²-3x=0，整理得其标准方程为：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，
∴圆C的圆心坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
（2）结论：当k∈[-$\frac{2\sqrt{5}}{7}$，$\frac{2\sqrt{5}}{7}$]∪{-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$}时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点．
理由如下：
直线代入圆的方程，消去y，可得：（1+k²）x²-（3+8k²）x+16k²=0，
令△=（3+8k²）²-4（1+k²）•16k²=0，解得k=±$\frac{3}{4}$，
又∵轨迹C的端点（$\frac{5}{3}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）与点（4，0）决定的直线斜率为±$\frac{2\sqrt{5}}{7}$，
∴当直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为[-$\frac{2\sqrt{5}}{7}$，$\frac{2\sqrt{5}}{7}$]∪{-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$}．

点评本题考查圆的方程、直线与曲线的位置关系问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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