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2023届衡水金卷先享题调研卷 新教材(五)5文理数学试卷答案
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19．已知分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+c（x≥0）}\end{array}\right.$．
（1）求实数c的值；
（2）当a=1时，求f[f（-1）]的值与函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
分析（1）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式．
（2）根据函数的解析式再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数的最小正周期及单调递增区间．
解答解：（1）∵$y=sin（\frac{π}{6}+2x）+cos2x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）根据y=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），求得它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{3}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
可得它的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
点评本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．
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