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辽宁省2023届丹东五校联考(12月)文理数学试卷答案
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7．已知向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1）与直线l垂直，且l经过点A（2，3，1），则点P（4，3，2）到l的距离为（ ）
| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ |
分析由斜率公式得y1-y2=k（x1-x2），由此利用完全平方式能证明|P1P2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
解答证明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是斜率为k的直线上的两点，
∴$k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，∴y1-y2=k（x1-x2），
∴|P1P2|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[k（{x}_{1}-{x}_{2}）]^{2}}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{1}-{x}_{2}|$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
∴|P1P2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
点评本题考查两点间距离公式的证明，是基础题，解题时要注意直线斜率公式和完全平方式的合理运用．
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