百师联盟2023届高三一轮复习联考(四)4浙江卷文理数学

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百师联盟2023届高三一轮复*联考(四)4浙江卷文理数学试卷答案

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4．将函数$y=\sqrt{3}cosx+sinx，（x∈R）$的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（　　）

分析（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式可得方程，解方程可得b，c；
（2）求出导数，由题意可得g（x）=-ax²-x+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有正有负，讨论a=0，a＞0，a＜0，结合二次函数的图象，考虑判别式大于0，f（$\frac{1}{2}$）＞0，以及对称轴与$\frac{1}{2}$的关系，解不等式即可得到所求范围．

解答解：（1）f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的导数为
f′（x）=e^-x[-ax²+（2a-b）x+b-c]，
由在点（0，2a）处切线的倾斜角为$\frac{π}{4}$，可得
k=b-c=1，
再由f（0）=2a，可得c=2a，
则b=1+2a，c=2a；
（2）f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的导数为
f′（x）=e^-x（-ax²-x+1），
由f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上不单调，
可得g（x）=-ax²-x+1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有正有负，
a=0时，g（x）=1-x成立；
a＜0时，判别式△=1+4a＞0，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$＞0，
又-$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1}{2}$．解得-$\frac{1}{4}$＜a＜0；
a＞0时，判别式△=1+4a＞0，且f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$＞0，
解得0＜a＜2．
综上可得a的取值范围是：-$\frac{1}{4}$＜a＜2．

点评本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查分类讨论的思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．

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