衡水金卷先享题2023调研卷(新教材)(三)文理数学

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衡水金卷先享题2023调研卷(新教材)(三)文理数学试卷答案

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20．若函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$在点P（2，f（2））处的切线为$y=4x-\frac{10}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论方程f（x）=k实数解的个数．

分析求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切线方程，求出x，y轴上的截距，运用三角形的面积公式，即可得证．

解答证明：曲线y=$\frac{{a}^{2}}{x}$的导数为y′=-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$，
在任一点（x₀，y₀）处的切线斜率为-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切点为（x₀，$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$），
则有切线方程：y-$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
由x=0得，y=$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$，
再由y=0，得，x=2x₀，
则与两坐标轴围成的三角形面积是：$\frac{1}{2}$|2x₀•$\frac{2{a}^{2}}{{x}_{0}}$|=2a²为定值．

点评本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的点斜式，考查运算能力，属于基础题．

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