2023普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真卷(六)6文理数学

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2023普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真卷(六)6文理数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$bx²+x．
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为6x-6y-5=0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a=-1时，函数f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a≥2时，设x₁，x2是函数f（x）的两个极值，且f′（x）是f（x）的导函数，如果x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=f′（x）+2（x-x₂）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

分析分别在原式两边乘以M，再乘以N（最小公倍数），再根据整数的性质和假设的方式，使得命题得以证明．

解答证明：当m=1时，a₁=$\frac{1}{2}$，显然不是整数，结论成立．
下面证明，当m≥2时，a_m=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$也不可能是整数．
设S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$，令M=2^m，在S两边同时乘以M得：MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1，
等式右边的每一项$\frac{M}{k}$（k=1，2，3，…，2^m），要么是整数，要么是一个分母为奇数的不可约分数，
再来考察那些分母为奇数的不可约分数的项．
因为m≥2，故在所有的分母当中（都是奇数）必定存在一个最大的奇素数，
设它为p，这样在分母中去掉p，设余下的奇数的最小公倍数为N，
在MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1两边再同时乘以N，得到MNS=$\frac{MN}{2}$+$\frac{MN}{3}$+$\frac{MN}{4}$+…+N．
等式右边的每一项$\frac{MN}{k}$（k=1，2，3，…，…，2^m），仅当k=p时，$\frac{MN}{k}$不是整数，其他的项都是整数．
所以等式右边最后得到的不是整数，因此，等式左边的MNS也不是整数，
显然，若S是整数，那么就与MNS不是整数相矛盾！
所以a_m不可能是整数．证毕．

点评本题主要考查了整数的性质，涉及到整除，素数，最小公倍数等知识点，通过多次构造使得命题得以证明，属于难题．

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