2022-2023学年重庆市高二试题12月联考(23-158B)文理数学

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2022-2023学年重庆市高二试题12月联考(23-158B)文理数学试卷答案

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3．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与x轴相交于点G，且$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，求k的值；
（3）设点A为椭圆的下顶点，k_AC，k_AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k_AC•k_AD=-2．

分析（1）化简得f（x）=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ解得增区间；
（2）根据x的范围求出2x+$\frac{π}{4}$的范围，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最值．

解答解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$时，f（x）取得最大值1，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．

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