辽宁省名校联盟2022年高一12月份联合考试文理数学

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辽宁省名校联盟2022年高一12月份联合考试文理数学试卷答案

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15．已知直线l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），点M₀（x₀，y₀）．求证：
（1）经过点M₀，且平行于直线l的直线方程是：A（x-x₀）+B（y-y₀）=0
（2）经过点M₀，且垂直于直线l的直线方程：$\frac{{x-{x_0}}}{A}=\frac{{y-{y_0}}}{B}$．

分析由m，n为已知方程的两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0表示出m+n与mn，表示出直线MN解析式，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，比较d与r的大小即可做出判断．

解答解：∵方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0有两个实数根m，n，
∴m+n=-cotθ，mn=-$\frac{1}{sinθ}$，△=cos²θ+4sinθ≥0
由圆的方程得到圆心（0，0），半径r=1，
过两点M（m，m²）和N（n，n²）（m≠±n）的直线方程为y-m²=（m+n）（x-m），
整理得：（m+n）x-y-mn=0，即-$\frac{cosθ}{sinθ}$x-y-$\frac{1}{sinθ}$=0，
∵圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{|-\frac{1}{sinθ}|}{\sqrt{\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}+1}}$=1，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故选：B．

点评此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，点到直线的距离公式，以及直线的两点式方程，弄清题意是解本题的关键．

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