2022年重庆八中11月高三学情检验数学

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2022年重庆八中11月高三学情检验数学试卷答案

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7．在极坐标系中，直线l的方程为ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（两坐标系取相同的长度单位），曲线C：x²+y²=4在坐标伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，作用下变为曲线C₁．
（1）求直线l的倾斜角α和曲线C₁的方程；
（2）判断直线l和曲线C₁是否相交．若相交，求出弦长；若不相交，说明理由．

分析（1）化简得f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），得到周期和最小值，令2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x的取值集合；
（2）由f（α）=2及α的范围解出α．

解答解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）的最小值是-2，
令2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的取最小值时x的取值集合为{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}．
（2）∵f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即α=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵α∈[$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴α=$\frac{π}{6}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．

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