2023届广西名校高考模拟试卷第一次调研考试数学

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2023届广西名校高考模拟试卷第一次调研考试数学试卷答案

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20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{a-2x}{x}$，a≠0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数h（x）=f′（x）+g（x）的单调区间；
（2）求证：对任意n∈N^*，均有$\frac{{e}^{n}}{n!}≤{e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}＜en$．（e为自然对数的底数，n!=1×2×3×…×n）

分析（1）把点（6，3）代入得，2=log_a（6-a），2=log_aa²，解方程即可；
（2）代入，整理可得∴[2^x+3]²≥2^x+2+3+m，利用换元法得出t²+2t+6≥m恒成立，只需求出左式的最小值即可．

解答解：（1）把点（6，3）代入得，
3=log_a（6-a）+1，
∴log_aa²=log_a（6-a）
∴a²+a-6=0，
∴a=2
（2）h（x）=2^x+1，F（x）=[2^x+3]²，G（x）=2^x+2+5，
∴[2^x+3]²≥2^x+2+3+m，
∴令t=2^x，t＞0，
∴t²+2t+6≥m恒成立，
∵t＞0，得t²+2t+6≥6，
∴m≤6．

点评考查了对数方程的解法和恒成立问题的转换，属于常规题型，应熟练掌握．

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