2023高考名校导航金卷6(六)数学

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2023高考名校导航金卷6(六)数学试卷答案

以下是该试卷的部分内容或者是答案亦或者啥也没有

17．已知M（2，0），N（0，-2），C为MN中点，点P满足CP=$\frac{1}{2}$MN．
（1）求点P构成曲线的方程．；
（2）是否存在过点（0，-1）的直线l与（1）所得曲线交于点A、B，且与x轴交于点Q，使$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=3，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

分析（1）由sin²θ+cos²θ=1，能求出曲线C的普通方程，消去参数t，能求出直线l的普通方程．
（2）曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=1为半径的圆，先求出圆心C（2，0）到直线l的距离d，由|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，能求出结果．

解答解：（1）∵曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴由sin²θ+cos²θ=1，能求出曲线C的普通方程为：（x-2）²+y²=1．
∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∴消去参数t，得直线l的普通方程为：2x+y-6=0．
（2）∵曲线C：（x-2）²+y²=1是以C（2，0）为圆心，以r=1为半径的圆，
圆心C（2，0）到直线l：2x+y-6=0的距离d=$\frac{|4-6|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
又直线1与曲线C交于P，Q两点，
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查曲线C，直线l的普通方程的求法，考查直线与圆相交弦弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程互化公式、圆的性质的合理运用．

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