银川一中2022-2023(上)高二期中考试数学

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银川一中2022-2023(上)高二期中考试数学试卷答案

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20．已知tan（α-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{2}$，tan（β-$\frac{α}{2}$）=-$\frac{1}{3}$，则tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{1}{7}$．

分析根据平面向量的数量积，化简|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，得出$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
再结合图形求出$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影即可．

解答解：△ABC中，∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
又AB=3，AC=4，
∴$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影是
|$\overrightarrow{BC}$|•cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$＞=|$\overrightarrow{BC}$|•cos（π-∠ACB）
=-|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ACB
=-4；
如图所示．
故选：C．

点评本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．

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