山东省济宁市2022-2023学年高一第一学期期中质量检测数学

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山东省济宁市2022-2023学年高一第一学期期中质量检测数学试卷答案

以下是该试卷的部分内容或者是答案亦或者啥也没有

10．已知由于城市的发展，合肥与南京之间的人员交流频繁，为了缓解交通压力，拟修建一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该火车每日往返的次数y是车头每次拖挂车厢节数x的一次函数，若车头拖挂4节车厢，则每日往返16次，若车头每次拖挂7节车厢，则每日往返10次．
（Ⅰ）求火车每日往返次数y与拖挂车厢节数x的函数关系式；
（Ⅱ）求这列火车每天运营的车厢的总节数S关于拖挂车厢节数x的函数关系式；
（Ⅲ）若每节车厢载客110人，求每次车头拖挂多少节车厢时，每天运送的旅客人数最多？并计算出每天最多运送的客人人数．

分析（1）f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{3}$≤a≤1，知1≤$\frac{1}{a}$≤3，结合函数的单调性判断即可；
（2）由a的符号进行分类讨论，能求出M（a）-N（a）的解析式，从而求出其最小值即可．

解答解：（1）f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
∴f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，3]递增，
∴f（x）在[1，3]上，所以$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{a}}）=1-\frac{1}{a}$；
（2）∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），
∴①当1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
∴M（a）-N（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6．
②当2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$
∴M（a）-N（a）=a+$\frac{1}{a}$-2，
∴$M（a）-N（a）=\left\{{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{a}-2，a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]}\\{9a+\frac{1}{a}-6，a∈（{\frac{1}{2}，1}]}\end{array}}\right.$，
当$a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$时，最小值为$\frac{1}{2}$，
当$a∈（{\frac{1}{2}，1}]$时，最小值也是$\frac{1}{2}$，
综上，M（a）-N（a）的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评本题考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．

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