2023届高考单科模拟检测卷E-(YN、AH、SX、HLJ、JL)(2二)数学

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2023届高考单科模拟检测卷E-(YN、AH、SX、HLJ、JL)(2二)数学试卷答案

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5．在△ABC中，三内角A，B，C满足2B=A+C，求解：tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+$\sqrt{3}$tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$．

分析设BC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值．

解答解：设BC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OA₁为z轴，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为4，底面边长都为3，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，
∴A（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，0），B（0，-$\frac{3}{2}$，0），C（0，$\frac{3}{2}$，0），C₁（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{37}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{37}}{2}$），
设异面直线AB与CC₁所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{C{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|}$|=|$\frac{\frac{27}{4}}{3×4}$|=$\frac{9}{16}$．
∴异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为$\frac{9}{16}$．
故选：A．

点评本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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