［内蒙古大联考］内蒙古2024届高三年级上学期10月联考文理 数学

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［内蒙古大联考］内蒙古2024届高三年级上学期10月联考文理 数学试卷答案

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14.(12分)如图,ABCDE为竖直面内的光滑轨道,在B、C两点均为平滑连接,小球通过该点时不损失能量。CDE为半圆弧轨道,半径为R,O点为圆心,D点与O点等高,EOC竖直为直径。不计空气阻力。在AB轨道上释放小球,小球会沿轨道进入半圆弧轨道。若想小球第一次在半圆弧轨道内运动且不脱离轨道,求小球在AB轨道上释放应满足的高度范围(距BC面)。

分析由条件利用本题主要考查同角三角函数的基本关系，求得sin²x的值，可得tan²x的值，可得tan²xsin²x的值．

解答解：∵tan²x-sin²x=$\frac{{sin}^{2}x}{1{-sin}^{2}x}$-sin²x=$\frac{16}{5}$，∴sin²x=$\frac{4}{5}$，或sin²x=-3（舍去）．
∴sin²x=$\frac{4}{5}$，∴cos²x=$\frac{1}{5}$，∴tan²x=4，
则tan²xsin²x=4×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．

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