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楚雄州中小学2022~2023高三上学期期中教育学业质量监测(23-59C)数学试卷答案
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7．已知函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）•cos2x，
（Ⅰ）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{3}{2}$，求△ABC的面积．
分析（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，化简函数，再求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，即可求f（x）的值域．
解答解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，2cos（x-$\frac{π}{6}$）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）+cosx•2cos（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．
点评此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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