2024届全国名校高三单元检测示范卷(十二)文理 数学

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2024届全国名校高三单元检测示范卷(十二)文理 数学试卷答案

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19.(14分)1801年,托马斯·杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。1834年,洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果(称洛埃镜实验)。洛埃镜实验的基本装置如图所示,S为单色光源。S发出的光直接照射在光屏上,同时S发出的光还通过平面镜反射在光屏上。从平面镜反射的光相当于S在平面镜中的虚像S’发出的,这样就形成了两个一样的相千光源。设光源S到平面镜的距离和到光屏的距离分别为a和1,平面镜左端到SS”的距离为b,平面镜的长度为c,光的波长为λ。光屏(1)用作图法标出光发生干涉的区域;(2)求光屏上出现干涉条纹区域的竖直长度;(3)写出相邻两条亮纹(或暗纹)间距离△x的表达式。(材料来源:选择性必修一,P115)

分析由对称性得到椭圆焦点坐标，可知椭圆是焦点在y轴上的椭圆，求出离心率，代入焦半径公式，可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，结合P点纵坐标的范围得答案．

解答解：点A（-3，0）关于直线y=x和y=-x的对称点分别为（0，-3），（0，3），
即F₁（0，-3），F₂（0，3），
∴b=c=3，则a²=b²+c²=18，a=$3\sqrt{2}$．
∴椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
设P（x₀，y₀），则-3≤y₀≤3．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=a+ey₀=3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=a-ey₀=$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=（3$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$）（$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{0}$）=$18-\frac{1}{2}{{y}_{0}}^{2}$，
当y₀=0时，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|有最大值为18．
故答案为：18．

点评本题考查椭圆的简单性质，训练了椭圆焦半径公式的应用，属中档题．

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