陕西省绥德中学2023-2024学年度第一学期九年级开学质量检测文理 数学

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陕西省绥德中学2023-2024学年度第一学期九年级开学质量检测文理 数学试卷答案

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2.如图所示,用两根长度相同的线绳,分别悬挂两个完全相同的钢球A、B,且两球并排放置。拉起A球,然后放开,该球与静止的B球发生碰撞。可以看到,碰撞后A球停止运动而静止,B球开始运动,最终摆到和A球被拉起时同样的高度。则下列说法正确的是A.从放开A球到B球摆到最高点的过程中,A、B组成的系统机械能守恒B.从放开A球到B球摆到最高点的过程中,A、B组成的系统动量守恒C.A球与B球碰撞的过程中,A球的动量守恒D.A球与B球碰撞的过程中,A、B两球的动能之和保持不变(材料来源:选择性必修一,P2)

分析设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MP|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答解：设|AF|=a，|BF|=b，
连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，
|BF|=|BP’|
在梯形ABP’Q中，
2|MP|=|AQ|+|BP’|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°
=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|PM|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求$\frac{|PM|}{|AB|}$的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．

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