宝鸡教育联盟 2024届高三摸底考试试卷(24024C)(一)文理 数学

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宝鸡教育联盟 2024届高三摸底考试试卷(24024C)(一)文理 数学试卷答案

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14.某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究。他们让这辆小车在水平地面上由静止开始运动,并将小车运动的全过程记录下来,通过数据处理得到如图所示的V=t图象(除10s时间段图象为曲线外,其余时间段图象均为直线),已知在小车的运动过程中,2-14s时间内小车牵引力的功率保持不变,14s末停止遥控让小车自由滑行,小车的质量m=1.0kg,可以认为小车在整个过程中受到的阻力大小不变。求:(1)小车所受阻力的大小?(2)小车匀速行驶阶段的功率P?(3)小车在加速运动过程中的位移s大小?

分析（1）令sinα+cosα=t换元，得到sinα•cosα，代入已知等式求得t，则sinα+cosα的值可求；
（2）展开立方和公式，则sin³α+cos³α的值可求．

解答解：（1）令sinα+cosα=t（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
两边平方得，1+2sinαcosα=t²，
∴4sinαcosα=2t²-2，
代入4sinαcosα-5sinα-5cosα=1，得
2t²-2-5t=1，即2t²-5t-3=0．
解得：t=3（舍），或t=-$\frac{1}{2}$，即sinα+cosα=$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，sinαcosα=$\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{4}-1）=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}$．
∴sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα+cosα）²-3sinαcosα]
=$-\frac{1}{2}$×$[（-\frac{1}{2}）^{2}-3×（-\frac{3}{8}）]$=$-\frac{11}{16}$．

点评本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，体现了方程思想和换元思想，是中档题．

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