湖北省2022年秋"荆、荆、襄、宜四地 七校考试联盟"高二期中联考数学

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湖北省2022年秋"荆、荆、襄、宜四地 七校考试联盟"高二期中联考数学试卷答案

以下是该试卷的部分内容或者是答案亦或者啥也没有

4．已知函数f（x）=$\sqrt{（acosx-1）^{2}+si{n}^{2}x}$
（1）当a=2时，求f（x）的值域；
（2）当且仅当x=2kπ，k∈Z时，f（x）取最小值，求正数a的取值范围；
（3）是否存在正数a，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ，根据二面角平面角的定义可知∠AQB是二面角M-a-N的平面角，连PQ，则PQ是P到a的距离，PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R，在△PAB中由余弦定理得 求出AB，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线a的距离．

解答解：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
PA⊥平面M，a?平面M，则PA⊥a，同理，有PB⊥a，
∵PA∩PB=P，∴a⊥面PAQB于Q
又AQ、BQ?平面PAQB，∴AQ⊥a，BQ⊥a．
∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角，
∴∠AQB=60°
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有∠PAQ=∠PBQ=90°
∴P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在△PAB中，∵PA=2，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，
由余弦定理得AB²=4+4-2×2×2cos120°=12
由正弦定理：PQ=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4
∴点P到直线a的距离为4．

点评本题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角，属于中档题．

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