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衡水金卷2022-2023高二三调考试(新教材新高考·月考卷)数学试卷答案
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4．已知直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）当α=$\frac{π}{4}$时，求直线L与圆C交点的中点坐标；
（2）证明：直线L与圆C相交，并求最短弦的长度．
分析根据平面向量的数量积，化简|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，得出$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
再结合图形求出$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影即可．
解答解：△ABC中，∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$；
又AB=3，AC=4，
∴$\overrightarrow{BC}$在$\overrightarrow{CA}$方向上的投影是
|$\overrightarrow{BC}$|•cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$＞=|$\overrightarrow{BC}$|•cos（π-∠ACB）
=-|$\overrightarrow{BC}$|•cos∠ACB
=-4；
如图所示．
故选：C．
点评本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．
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