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河北省金科大联考2023~2024学年高三上学期开学质量检测文理 数学试卷答案
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B日99.茉莉花色是由等位基因A/控制的,基因型为AA的植株开红花,基因型为Aa的植株开粉花,基因型为的植株开白花。一个苯莉种群中,开红花、粉花和白花的植株都有,让该种群中的所有个体自交,统计子代的表型及其比例,结果如图所示。据图推测,亲木莉植株中开粉花的个体A.1/6B.1/3D.1/4
分析由条件令a=4，b=1，得f（2）=3，令a=1，b=4，得f（3）=5，猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．再由数学归纳法证明，即可求出f（2016）的值．
解答解：∵函数f（x）满足对任意实数a，b，有知$f（{\frac{a+2b}{3}}）=\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，
∴由f（1）=1，f（4）=7，
令a=4，b=1，得f（2）=$\frac{f（4）+2f（1）}{3}$=3，
令a=1，b=4，得f（3）=$\frac{f（1）+2f（4）}{3}$=5，
猜想：f（n）=2n-1（n∈N*）．①
证明：当n=1，2，3，4时①成立．
假设n≤k（k＞4且k为整数），①都成立．
令a=k-2，b=k+1，得f（k）=$\frac{f（k-2）+2f（k+1）}{3}$，
∴f（k+1）=$\frac{1}{2}$[f（k）-f（k-2）]=$\frac{1}{2}$[3（2k-1）-2（k-2）+1]=2（k+1）-1，
即对n=k+1．f（k+1）=2（k+1）-1成立．
∴对任意正整数n，f（n）=2n-1（n∈N*）都成立．
∴f（2016）=2×2016-1=4031．
故选：D．
点评本题考查抽象函数及运用，考查赋值法的运用，同时考查运用数学归纳法证明与n有关的命题，属于中档题
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