高中数学圆锥曲线系统讲解第16讲《离心率综合题》练习及答案

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1、 1 第第 16 讲讲 离心率综合题离心率综合题 知识与方法知识与方法 在椭圆和双曲线中，离心率cea=，故欲求离心率，只需分析图形、根据已知条件寻找合适的等量关系，建立关于 a、b、c 的齐次方程即可.小技巧：离心率只由 a、b、c 的比值决定，故往往可设1a=（或其他值），根据建立的齐次方程解出 c，快速得出离心率.典型例题典型例题 1.（）过双曲线2222:1xyCab=()0,0ab的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P，若点 P 的横坐标为2a，则 C 的离心率为_.【解析】过右焦点(),0c与渐近线平行的直线为()byxca=，联立()2xabyxca=解得：()2b

2、yaca=，所以()2,2bPaaca，代入双曲线 C 的方程得：()222222241bacaaab=，整理得：2240caca+=，两端同除以2a可得2410ee+=，所以()223e=，解得：23e=，又1e，所以23e=+.【答案】23+2.（2022全国甲卷理10）椭圆()2222:10 xyCabab+=的左顶点为 A，点 P、Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称，若直线AP、AQ 的斜率之积为14，则 C 的离心率为（）A.32 B.22 C.12 D.13【解析】设 C 的离心率为 e，点 O 关于 x 轴的对称点为Q，如图，则AQAQkk=，显然 P、Q关于原点对称，由椭圆的

3、斜率积结论，21APAQkke=，所以()21APAQkke=，从而21APAQkke=，由题意，14APAQkk=，所以2114e=，故32e=.2 【答案】A 3.（）平 面 直 角 坐 标 系xOy中，双 曲 线()22122:10,0 xyCabab=的 渐 近 线 与 抛 物 线()22:20Cxpy p=交于点 O、A、B.若OAB的垂心为2C的焦点，则1C的离心率为_.【解析】解法 1：如图，联立22byxaxpy=解得：00 xy=或2222pbxapbya=，即2222,pbpbAaa，由对称性可得2222,pbpbBaa，0,2pF为OAB的垂心222212AFOBpbpb

4、aAFOBkkpbaa=，整理得：2245ba=，故()22245caa=，即32cea=.解法 2：如图，取2p=，则抛物线方程为24xy=，()0,1F，令1a=，则双曲线的渐近线方程为ybx=，联立24xxyyb=解得：00 xy=或244xbyb=，即()24,4Abb，OAB的垂心为2C的焦点()0,1FAFOB，所以()24114AFOBbkkbb=，整理得：245b=，故254b=，22253142cab=+=+=，即32cea=.【答案】32【反思】三角形的垂心是三条高线的交点，等腰三角形的垂心必定在底边上的高所在直线上；解法 2 和解法 1 相比，注意到了本题没有条件可以求出

5、 p，表明结论与 p 的值无关，故取特值可一定程度上简化计算，同时求离心率我们也不关注 a、b、c 的具体值，而只需确定它们的比值关系，故也可直接令1a=，求出 c 即为离心率，进一步简化计算；小题中处理垂直关系首选斜率之积等于1.4.（）3 设椭圆()2222:10 xyCabab+=的左、右焦点为1F、2F，过2F作 x 轴的垂线与 C 交于 A、B两点，1FB与 y 轴交于点 D，若1ADFB，则椭圆 C 的离心率等于_.【解析】解法 1：由题意，AB 为椭圆的通径，所以22bABa=，如图，2,bA ca，2,bB ca，()1,0Fc，20,2bDa，因为1ADFB，所以()1222

6、0210ADF Bbbbaaakkccc=，整理得：42234ba c=，又222bac=，代入式得：()2222234aca c=，所以422431030ca ca+=，即()()2222330caca=，所以223ac=或223ca=（舍去），故离心率33cea=.解法 2：如图，由题意，ODAB，又 O 为12FF的中点，所以 D 为1FB的中点，结合1ADFB知1AFAB=，由对称性易得11AFBF=，所以1ABF为正三角形，设2AFm=，则12AFm=，123FFm=，所以1212233223FFccmeaaAFAFmm=+.【答案】33【反思】椭圆焦点三角形中求离心率，可代公1212121221sinsinsinFFF AFeAFAFAFFAF F=+5.（）已知1F、2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123FPF=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.4 33 B.2 33 C.3 D.2 4 【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()222210 xyabab+=和()222210,n0 xymmn=，半焦距均为 c，离心率分别为1e和2e

1.下列说法正确的是A.质点是指体积很小的物体B.重力的方向是竖直向下指向地心的C.惯性大,物体维持原有运动状态的能力强D.由牛顿第二定律可知,物体的质量与受力成正比,与加速度成反比

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