高中数学圆锥曲线系统讲解第29讲《非对称韦达定理》练习及答案

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1、 1 第第 29 讲讲 非对称韦达定理非对称韦达定理 知识与方法知识与方法 将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去 y，得到关键方程（设方程的两根为1x和2x），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了122xx、1223xx+等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住12xx+和12x x的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题.请同学们通过本节的一些考题来感悟这种运算技巧.典型例题典型例题 1.（）如下图所示，椭圆有两个顶点()1,0A，(

2、)1,0B，过其焦点()0,1F的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与 BD 交于点 Q.（1）当3 22CD=时，求直线 l 的方程；（2）当 P 点异于 A、B 两点时，证明:OP OQ为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，故长半轴长2a=，所以椭圆的方程为2212yx+=，当3 22CD=时，易得直线 l 不与 x 轴垂直，故可设 l 的方程为1ykx=+()0,1kk，设()11,C x y，()22,D x y，联立22112ykxyx=+=消去 y 整理得：()222210kxkx+=判别式()2810k=+，由韦达

3、定理，1221222212kxxkx xk+=+=+2 故()222122813 21122kCDkxxkk+=+=+=+，解得：2k=，所以直线 l 的方程为21yx=+.（2）解法 1：直线 AC 的斜率为111ACykx=+，其方程为()1111yyxx=+，直线 BD 的斜率为221BDykx=，其方程为()2211yyxx=，用式除以式整理得：()()21121111yxxxyx+=，即()()21121111QQxyxxyx+=而()()()()()()212112211212121211111111yxkxxkx xkxxyxkxxkx xkxx+=+，所以12211212111

4、1QQxkx xkxxxkx xkxx+=+，由知12222kxxk=+，故()()()()()()22222222222212211112222121111222QQkkkkkxxkxxkkkkkkkkxkkxxkxkkk+=+，解得：Qxk=，易得1,0Pk，故()11PQOP OQx xkk=，即OP OQ为定值 1.解法 2：直线 AC 的斜率为111ACykx=+，其方程为()1111yyxx=+直线 BD 的斜率为221BDykx=，其方程为()2211yyxx=，用式除以式整理得：()()21121111yxxxyx+=，即()()21121111QQxyxxyx+=所以()()

5、()()()()()()()()()()22222222212121121222221212121212221212 1111111122121111112 11122QQkxxxyxxxx xxxkkkkxxxx xxxkyxxxkk+=+因为()12,1,1x x ，所以12101xx+，结合可得11QQxx+与21yy异号，又()()()2222121212122222221111222kkky ykxkxk x xk xxkkk=+=+=+=+3 ()()()2222 112 11221kkkkkkk+=+所以12y y与11kk+异号，即21yy与11kk+异号，从而11QQxx+与

6、11kk+同号，所以1111QQxkxk+=+，解得：Qxk=，易得1,0Pk，故()11PQOP OQx xkk=，即OP OQ为定值 1.【反思】本题的解法 1 是两根结构不对称时的常规处理方法，局部计算，整体约分；解法 2则通过平方，转化为对称结构计算，技巧性较强.2.（）已知椭圆22:33C xy+=，过点()1,0D且不过点()2,1E的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，直线 AE 与直线3x=交于点 M.（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）椭圆 C 的方程可化为2213xy+=，故其长半轴长3a=，短半轴长1b=半焦距222cab=，所以椭圆 C 的离心率63cea=（2）解法 1：若 AB 垂直于 x 轴，如图 1，直线 AB 的方程为1x=，联立22133xxy=+=，可解得：63y=，若61,3A，则61,3B，设()03,My，因为 A、E、M 三点共线，所以AEEMkk=，故061131232y=，解得：0623y=，所以直线BM的斜率063

5.下列对材料相关内容的概括和分析,正确的一项是(3分0A.上海璀璨城市综合楼依靠光伏屋顶和一处光伏幕墙补给能源,补给能源等于消耗能源,每平方米用电量几近传统建筑的三分之一。B.近零能耗建筑产业链的产品的价格可通过市场来调节,以后国内制造的这类产品量会远超国外制造量,价格也会随之上下浮动。C.我国对超低能耗建筑建设很重视,不仅制定《绿色建筑评价标准》还颁布各项政策,以各种方式对超低能耗建筑进行激励推广。D.只要在一定区域范围内均实施了零能耗建筑,达到建筑或建筑群的“自我循环”,那么,这个区域范围的人工生态环境就形成了

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