高中数学圆锥曲线系统讲解第28讲《蒙日圆》练习及答案

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1、 1 第第 28 讲讲 蒙日圆蒙日圆 知识与方法知识与方法 1蒙日圆：如下图所示，过点 P 作椭圆2222:1xyCab+=()0ab的两条切线，若这两条切线互相垂直，则点 P 的轨迹是圆2222xyab+=+，该圆即为蒙日圆.2蒙日圆的性质：如下图所示，延长PA、PB与蒙日圆分别交于点 M、N，OP与AB交于点 Q，则：（1）M、O、N 三点共线；（2）MNAB；（3）22OPMNOPABOAPAOBPBbkkkkkkkka=；（4）44OAOBbkka.提醒：双曲线22221xyab=()0ab的蒙日圆为2222xyab+=，而当ab时，双曲线没有蒙日圆；抛物线的蒙日圆是抛物线的准线，这里

2、把直线看成了半径无限大的圆.典型例题典型例题【例 1】已知椭圆22:13xCy+=，若直线:420l mxym+=()mR上存在点 P，使得过P 作椭圆 C 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则 m 的取值范围是_.【解析】要使过点 P 作的椭圆 C 的两条切线互相垂直，则点 P 在椭圆 C 的蒙日圆224xy+=上，所以问题等价于直线 l 与圆224xy+=有公共点，从而圆心 O 到直线 l 的距离24221mdm+=+，解得：304m，所以 m 的取值范围是30,4.2 【答案】30,4 变式 1 已知椭圆22:13xCy+=，若直线:420l mxym+=()mR上存在点 P，使得过P

3、作椭圆 C 的两条切线PA、PB，其中 A、B 为切点，且APB是钝角，则 m 的取值范围是_.【解析】要使APB为钝角，则点 P 应落在如图所示的蒙日圆224xy+=内椭圆 C 外的部分，所以只需直线 l 与蒙日圆相交即可，从而圆心 O 到直线 l 的距离24221mdm+=+，解得：304m，所以 m 的取值范围是30,4.【答案】30,4 变式 2 已知椭圆22:13xCy+=和点13,22Q，若 P 为一动点，且过 P 作椭圆 C 的两条切线PA、PB，其中 A、B 为切点，满足APB为锐角，若PQd恒成立，则 d 的最大值是_.【解析】要使APB为锐角，则点 P 应落在如图所示的蒙日

4、圆224xy+=外，延长OQ交蒙日圆于点0P，显然蒙日圆上的动点到点 Q 的距离的最小值为002 1 1PQOPOQ=，从而当点 P 在蒙日圆外运动时，PQ的取值范围是()1,+，要使PQd恒成立，则1d，所以max1d=.3 【答案】1【例 2】（2014广东）已知椭圆2222:1xyCab+=()0ab的一个焦点为()5,0，离心率为53.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.【解析】（1）由题意，225ab=，且553a=解得：3a=，2b=，故椭圆 C 的方程为22194xy+=.（2

5、）若两条切线分别与 x 轴、y 轴垂直，这样的点 P 有四个，分别为()3,2，()3,2，()3,2，()3,2，若切线都不与坐标轴垂直，设切线方程为()00yyk xx=，代入椭圆方程整理得：()()()222000049189360kxk ykxxykx+=，判别式()()()2220000184 499360k ykxkykx=+=，化简得：()222000036481640 xkx y ky+=，所以过 P 的两条切线的斜率为上述关于 k 的一元二次方程的两根1k，2k，因为两切线垂直，所以2012201641364yk kx=，整理得：220013xy+=，显然()3,2，()3,

6、2，()3,2，()3,2 也满足上述方程，故点 P 的轨迹方程为2213xy+=.4 强化训练强化训练 1.（）从圆()222:0C xyrr+=上一定点 P 作椭圆221124xy+=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则直线:2230lmxym+=被圆 C 截得的线段长的最小值是_.【解析】要使两切线互相垂 直，则点 P 在椭 圆 C 的蒙 日圆上，从而4r=，()()223021230mxymmxy+=+=直线 l 过定点13,22Q，且易求得1OQ=，如图，当直线lPQ时，直线 l 被圆 C 截得的线段长最小，且最小值为2212 15r =.【答案】2 15 2.（）已知椭圆22:142xyC+=，点 P 在直线:30l xy+=上，若过 P 作椭圆 C 的两条切线PA、PB，且PAPB，则满足条件的点 P 有_个.【解析】要使PAPB，则点 P 应在椭圆 C 的蒙日圆226xy+=上，该圆的圆心到直线 l 的距离33 2622d=，所以直线 l 与蒙日圆相交，从而满足条件的点 P 有 2 个.【答案】2 3.（）已知椭圆22:154xyC+=和直线:53 50l xy+=，若

③图2所示的过程说明,自然环境的变化引起不同性状蜥蜴的比例发生变化,其本质是蜥蜴群体内的发生了改变。(1)靡尔根用果蝇作实验材料证明了基因位于染色体上,其研究方法是。雄性果蝇的1个染色体组含有条形态、功能不同的染色体。果蝇适合用作遗传实验材料的优点有(请答出两点)。

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