高中数学圆锥曲线系统讲解第18讲《三角形面积公式的坐标形式》练习及答案

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1、 1 第第 18 讲讲 三角形面积公式的坐标形式三角形面积公式的坐标形式 知识与方法知识与方法 公式 1：设点()11,A x y，()22,B x y，O 为原点，则122112OABSx yx y=.公式 2：设点()11,A x y，()22,B xy，()33,C x y，则()()()()2131312112ABCSxxyyxxyy=.典型例题典型例题【例题】在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,1A，()1,3B，则OAB的面积为_.【解析】解法 1：如图，易求得5OA=，直线OA的方程为2 0 xy=，所以点 B 到直线OA的距离()2212 37512d=+，从而177522

2、5OABS=解法 2：()17231122OABS=.【答案】72 变式 1 在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,1A，()1,3B，()1,1C，则ABC的面积为_.【解析】解法 1：直线AC的斜率()11221k=，所以直线AC的方程为()122yx=，即230 xy=，从而点 B 到直线AC的距离()()2221338521d=+，又()()22121 15AC=+=，所以11854225ABCSAC d=.2 解法 2：如图，将 A、B、C 三点同时向左移 1 个单位，向上移 1 个单位，则 C 移到原点，A、B 分别移到()1,2A，()2,4B，所以()11 42242ABCO

3、A BSS=.【答案】4【反思】当三角形的三个顶点都不在原点时，可以通过平移转化为有一个顶点在原点的情形来计算面积.变式 2 在平面直角坐标系xOy中，已知 A、B 为抛物线2:2C yx=上的两点，若OAOB，则OAB的面积最小值为_.【解析】解法 1：如图，显然直线AB不与 y 轴垂直，故可设其方程为()0 xmyt t=+)，设()11,A x y，()22,B x y，联立22xmytyx=+=消去 x 整理得：2220ymyt=，判别式()242mt=+，由韦达定理，122y yt=，所以222121222yyx xt=，因为OAOB，所以121221OAOByykkxxt=，从而2

4、t=，满足0，故直线AB过定点()2,0D，所以()22121112442442212OABSODyyODmm=+=+，当且仅当0m=时取等号，所以OAB的面积的最小值为 4.解法 2：设直线OA的方程为()0ykx k=，则直线OB的方程为1yxk=，3 联立22ykxyx=解得：00 xy=或222xkyk=，所以222,Akk，将k换成1k即得()22,2Bkk，所以()221 2222222222242OABSkkkkkkkkkk=+=+=，当且仅当22 kk=，即1k=时取等号，故OAB的面积的最小值为 4.解法 3：设()211,2A yy，()222,2B yy，则由题意，122

5、212122221yyyyy y=，所以122y y=，212yy=，从而()221221121211111112222222222422OABSyyyyy yyyyyyyyy=+=+=当且仅当112yy=，即12y=时取等号，故OAB的面积的最小值为 4.【答案】4 强化训练强化训练 1.()在平面直角坐标系xOy中，已知点()1,0A，()2,2B，()1,3C，则ABC的面积为_.【解析】如图，()()()()1721301 12022ABCS=.【答案】72 2.（）设直线:22l yx=与抛物线2:4C yx=相交于 A、B 两点，若点()0,1D，则DAB的面积为_.【解析】解法

6、1：如图，设()11,A x y，()22,B x y，联立2224yxyx=消去 y 整理得：2310 xx+=，4 不难发现直线 l 过抛物线 C 的焦点 F，所以1225ABxx=+=，而点 D 到直线 l 的距离()2220123521d=+，所以1133 552225DABSAB d=.解法 2：如图，由题意，可设()11,22A xx，()22,22B xx，联立2224yxyx=消去 y 整理得：2310 xx+=判别式()234 1 15=，所以()()()()12211213353 50221022122212DABSxxxxxx=.【答案】3 52 3.（）在平面直角坐标系xOy中，已知 A、B 为抛物线2:4C yx=上的两点，若直线OA、OB的斜率之积等于2，则OAB的面积最小值为_.【解析】解法 1：如图，显然直线AB不与 y 轴垂直，故可设其方程为()0 xmyt t=+，设()11,A x y，()22,B x y，联立24xmytyx=+=消去 x 整理得：2440ymyt=，判别式()216 mt=+，由韦达定理，124yym+=，124y yt=，所

16.光合作用被称为“地球上最重要的化学反应”,这与植物体内的叶绿体密切相关,有关叶绿体的说法正确的是A.叶绿体中的各种色素都是绿色的B.叶绿体中的色素都分布在内膜上C.叶绿体中的色素主要吸收绿色光D.使用光学显微镜可以看到叶绿体

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