高中数学圆锥曲线系统讲解第4讲《隐形圆》练习及答案

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1、 1 第第 4 讲讲 隐形圆隐形圆 知识与方法知识与方法 在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常见的几类题型.典型例题典型例题【例 1】若圆()()2214xaya+=上存在点 P，使得 P 点到原点的距离为 3，则实数 a 的取值范围为_.【解 析】问题 等价 于圆22:9O xy+=与 圆()()22:14Cxaya+=有 交点，所 以2121rrOCrr+，易求得()221OCaa=+，所以()22115aa+，解得：30a 或14a.【答案】3,01,4【例 2】已知圆

2、()22:44C xy+=和两点(),0Am、(),0B m，若圆上存在点 P，使得0PA PB=，则正实数 m 的取值范围为_.【解析】0PA PB=点 P 的轨迹方程是圆222:O xym+=，问题等价于圆 O 与圆 C 有交点，所以2121rrOCrr+，从而242mm+，结合0m 可解得：26m.【答案】2,6【反思】设 A、B 为两个定点，则由PAPB或0PA PB=所确定的点 P 的轨迹是圆.【例 3】在平面直角坐标系xOy中，已知点()0,2M和()0,1N，若直线20 xya+=上存在点 P 使2PMPN=，则实数 a 的取值范围为_.【解析】设(),P x y，则由|2PMP

3、N=可得()()2222221xyxy+=+，化简得：222439xy+=，所以问题等价于直线20 xya+=与圆222439xy+=有交点，故222335ad+=，解得：42 542 533a+.2 【答案】42 5 42 5,33+【反思】若动点 P 满足PAPB=()01且，其中 A、B 是两个定点，则点 P 的轨迹是圆.变式 在ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若2b=，2ac=，则ABC的面积的最大值为_.【解析】以AC中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A，()1,0C，设(),B x y,因为2ac=，所以2BCAB=，故()()2222

4、121xyxy+=+，化简得：()22516039xyy+=，所以点 B 的轨迹是以5,03为圆心，43为半径的圆（不含 x 轴上的两个点），如图，由图可知，()max1442233ABCS=.【答案】43【例 4】已知点()2,2A，()4,2Bm，点 P 在直线20 xy+=上，若满足2PA PB=的点 P有两个，则实数 m 的取值范围为_.【解析】设(),P x y，则()2,2PAxy=，()4,2PBxmy=，()()()()224222PA PBxxymy=+=，整理得点 P 的轨迹方程为圆()()222:3124Cxymmm+=+，所以问题等价于直线20 xy+=与圆 C 相交，

5、故()2312242mmm+，解得：22 3m 或2 32m.【答案】()(),22 32 32,+3 【反思】由PA PB=可确定隐形圆，其中 A、B 是两定点.【例 5】设点()0,2A，圆()()22:24Cxmym+=，若圆 C 上存在点 M，使得2220MAMO+=，其中 O 为原点，则实数 m 的取值范围为_.【解析】设(),M x y，则由2220MAMO+=可得()2222220 xyxy+=，化简得：()2219xy+=，所以问题等价于圆 C 与圆()2219xy+=有公共点，故()()221215mm+，解得：21m 或25m.【答案】2,12,5【反思】22PAPB+是定

6、值可确定隐形圆，其中 A、B 是两定点.【例6】在平面直角坐标系xOy 中，已知B、C为圆229xy+=上两点，点()2,2A，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_.【解析】如图 1，设BC中点为(),M x y，则2BCAM=，OMBC，所以222OMMBOB+=，又MBAM=，所以222OMAMOB+=，故()()2222229xyxy+=，整理得：()()225112xy+=，从而点 M 的轨迹是圆，圆心为()1,1T，且点 A 在该圆内，2AT=，故10102222AM+，因为2BCAM=，所以102 2102 2BC+.解法 2：如图 2，作矩形ABQC，设(),Q x y，由矩形性质知，2222OAOQOBOC+=+，所以22899xy+=+，化简得：2210 xy+=，从而点 Q 的轨迹是以原点为圆心，10为半径的圆，因为2 2OA=，所以102 2102 2AQ+，又BCAQ=，所以102 2102 2BC+.4 【答案】102 2 102 2+，【反思】矩形性质：设 P 是矩形ABCD所在平面内任意一点，则2222PAPCPBPD+=+.【例 7】设aR，直线1:

A.开关S处于断开状态时,减小光照强度,电压表、电流表的示数均变大B.开关S处于断开状态时,减小光照强度,光敏电阻R2消耗的功率一定变大C.从图示位置开始计时,线圈转动时产生的感应电动势的瞬时值表达式为e=NBSωsin(ωt)D.开关S处于闭合状态时,将光敏电阻R2用黑纸包裹,则光敏电阻R2消耗的功率为

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