炎德英才大联考 湖南师大附中2024届高三月考试卷(一)文理 数学

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炎德英才大联考 湖南师大附中2024届高三月考试卷(一)文理 数学试卷答案

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12．设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间（单位：min）X～N（50，10²），乘地铁所需时间Y～N（60，4²），则
（1）若有70min可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？
（2）由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A公司2辆出租车，B公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A公司出租车被叫来的辆数?的分布列和数学期望E（?）．（已知P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544）

分析由题意，讨论0＜a＜1时，当0＜a＜1时，-2＜x＜0时，y=f（x）和y=log_a（x+2）只有一个交点；故a＞1．关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在区间（-2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=log_a（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=log_a（x+2）的图象，由图象解出答案．

解答解：由f（x）是定义在R上的偶函数，
且f（2+x）=f（2-x），
即为f（x+4）=f（-x）=f（x），
则f（x）为周期为4的函数．
当x∈[0，2]时，f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，
可得x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x）=（$\sqrt{2}$）^-x-1，
又∵f（x）=log_a（x+2）（a＞0且a≠1），
当0＜a＜1时，-2＜x＜0时，y=f（x）和y=log_a（x+2）只有一个交点；
在0＜x＜6时，f（x）＞0，log_a（x+2）＜0，则没有交点，
故a＞1，作出它们在区间（-2，6）内图象如右图：
当x=6时，f（6）=f（2）=1，log_a（6+2）=1，解得a=8，
由于-2＜x＜6，即有a＞8，
y=f（x）和y=log_a（x+2）有四个交点．
故选：D．

点评本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．

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