全国名校大联考·2023~2024学年高三第一次联考(XGK)文理 数学

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全国名校大联考·2023~2024学年高三第一次联考(XGK)文理 数学试卷答案

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15．若数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差数列{b_n}满足b₁=3a₁，b₃=S₂+3
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{n+2}{{b}_{n}•{b}_{n+1}•{a}_{n}}$（n∈N^*），且{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n$＜\frac{1}{4}$．

分析化简f（x）=1+$\frac{1-sinx}{sinx}$+2015+$\frac{2015sinx}{1-sinx}$，从而利用基本不等式求解．

解答解：f（x）=$\frac{（1-sinx）+sinx}{sinx}$+$\frac{2015[sinx+（1-sinx）]}{1-sinx}$
=1+$\frac{1-sinx}{sinx}$+2015+$\frac{2015sinx}{1-sinx}$
=2016+$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{2015sinx}{1-sinx}$
≥2016+2$\sqrt{2015}$，
（当且仅当$\frac{1-sinx}{sinx}$=$\frac{2015sinx}{1-sinx}$时，等号成立）；
故答案为：2016+2$\sqrt{2015}$．

点评本题考查了函数的化简与应用及基本不等式的解法应用．

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