2022~2023学年度上学期高三11月联考试卷(233198D)数学

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2022~2023学年度上学期高三11月联考试卷(233198D)数学试卷答案

以下是该试卷的部分内容或者是答案亦或者啥也没有

15．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：
x+$\frac{1}{x}$≥2，
x+$\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$≥3，
x+$\frac{27}{x^3}=\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{27}{x^3}$≥4，
…
类比得：x+$\frac{a}{x^n}≥n+1（n∈{N^*}）$，则a=nⁿ．

分析（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（-x）=-f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．

解答解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）=-f（x）有解．
当f（x）=ax²+2x-4a（a∈R）时，
方程f（-x）=-f（x）即2a（x²-4）=0，有解x=±2，
所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．
令t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，则-2m=t+$\frac{1}{t}$
设g（t）=t+$\frac{1}{t}$，则g’（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，
当t∈（0，1）时，g’（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g’（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．
所以t∈[$\frac{1}{2}$，2]时，g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]．
所以-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，即m∈[-$\frac{5}{4}$，-1]．

点评本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．

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