高考数学二轮复习培优专题第21讲抛物线定义及性质常考5种题型

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1、第21讲 抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一：抛物线定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线考点二：抛物线焦点弦焦半径公式 图1-3-1 图1-3-2焦半径：， 焦点弦：三角形面积： 【题型目录】题型一：抛物线的定义及方程题型二：抛物线的性质题型三：抛物线焦点弦焦半径题型四：有关三角形面积问题题型五：抛物线中的最值问题【典型例题】题型一：抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则（）A1B2CD【答案】A【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值.【详解】由抛物线定义知：

2、，所以，解得：.故选：A【例2】抛物线的准线方程是（）ABCD【答案】B【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为故选：B【例3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（）ABCD【答案】D【分析】分析可知的外心的横坐标为，求出点到抛物线的准线的距离，即为外接圆的半径，再利用圆的面积公式可求得的值.【详解】抛物线的焦点为，易知的外心的横坐标为，点到抛物线的准线的距离为，所以，的外接圆的半径为，由题意可得，因为，解得.故选：D.【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水

3、泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）A18米B21米C24米D27米【答案】C【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出的值，即可得到抛物线方程，再令求出的值，即可得解.【详解】解：抛物线，即，因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，所以抛物线即为，令，则，解得，所以校门位于地面宽度最大约为米.故选：C【例5】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（）ABCD【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、

4、准线方程，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，而圆心C是线段的中点，又，即有，显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由消去x得：，则，点E的纵坐标为，于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，则有，即，解得，因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.故选：B【题型专练】1.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（）A焦点F到准线l的距离为1B焦点F的坐标为C准线l的方程为D对称轴为x轴【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式，表示焦点坐标和准线，即得答案.【详解】将抛物线化为标准方程所以焦点F的坐标

5、为，准线l的方程为，焦点F到准线l的距离为，对称轴为y轴故选：C【点睛】本题考查由抛物线的标准方程表示其简单几何性质，属于简单题.2.抛物线的焦点为F，点M在C上，则M到y轴的距离是（）A4B8C10D12【答案】B【分析】设，由抛物线的定义，即，即可求出答案.【详解】抛物线的准线方程为：设，由抛物线的定义知：，即，即，所以M到y轴的距离是.故选：B.3.已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（）AB1C2D4【答案】A【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，【详解】由题可得，因为，所以，所以为坐标原点)的面积是.故选：A.4（2022广东广州高二期末）已知圆与抛物线的准线相切，则（）A1B2C4D8【答案】C【分析】写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由已知得圆心到准线的距离为半径，从而求出.【详解】因

15.某半径为r类地行星表面有一单色光源P,其发出的各方向的光经过厚度为(2-1)r、折射率为n=2的均匀行星大气层(图中阴彤部分)射向太空。取包含P和行星中心O的某一截面如图所示,设此截面内一卫星探测器在半径为4r3+1的轨道上绕行星做匀速圆周运动,忽略行星表面对光的反射,已知sin115^=6-24,15^=6+24,则A.大气外表面发光区域在截面上形成的弧长为2r3B.若卫星探测器运行时,只能在轨道上某部分观测到光,则这部分轨道弧长为3(4r3+1)C.若该行星没有大气层,则卫星探测器运行时,在轨道上能观测到光轨道弧长将变大D.若探测器公转方向和行星自转的方向相同,探测器接收到光的频率一定大于光源发出的频率

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