湖南省2023年上学期高二期末文理 数学

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湖南省2023年上学期高二期末文理 数学试卷答案

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8．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若B为锐角且f（B）=$\frac{7}{2}$，BC边上的中线AD长为2，求△ABC面积的最大值．

分析（Ⅰ）求出BC的中点D的坐标，AD所在直线的斜率，即可求出BC边上中线AD所在直线的方程；
（Ⅱ）求出圆心与半径，即可三角形ABC的外接圆O₁的方程．
（Ⅲ）求出公共弦的方程，可得两圆的交点，再求圆心与半径，即可过圆O₁与圆O₂交点的圆的方程．

解答解：（Ⅰ）设BC的中点为D，由中点坐标公式得：D（2，0），
所以AD所在直线的斜率为k=-3
所以AD所在直线的方程为y-3=-3（x-1），即3x+y-6=0
（Ⅱ）由题知直线AB的斜率不存在，直线BC的斜率为0，
故三角形ABC是角A为直角BC为斜边的直角三角形；
由（Ⅰ）知，线段BC上的中点D（2，0），
所以圆O₁的圆心坐标（2，0）半径$r=DA=\sqrt{1+{3^2}}=\sqrt{10}$；
三角形ABC的外接圆的方程为x²+y²-4x-6=0或（x-2）²+y²=10．
（Ⅲ）圆O₁与圆O₂，两方程相减，可得公共弦的方程为y=x，
与x²+y²-4y-6=0联立，可得两圆的交点分别为A（-1，-1），B（3，3），
线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y-1=-（x-1）
与x-y-4=0，可得所求圆的圆心为（3，-1），半径为4
所以所求圆的方程为（x-3）²+（y+1）²=16．

点评本题考查直线方程与圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

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