超级全能生2023届高考全国卷地区高三年级11月联考(3098C)数学

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超级全能生2023届高考全国卷地区高三年级11月联考(3098C)数学试卷答案

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2．化简：$\frac{1+cos2α}{3sin2α}$$•\frac{2si{n}^{2}α}{cos2α}$=（　　）

分析（1）由条件利用同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，倍角公式化简即可证明．
（2）由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tanβ•tan²α-tanα+tanβ=0，再根据△=1-8tan²β≥0，求得tanβ的最大值．

解答解：（1）证明：$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），其中α，β为锐角．
⇒sinβ=sinα（cosαcosβ-sinαsinβ）
⇒sinβ（1-sin²α）=$\frac{1}{2}$sin2αcosβ
⇒tanβ=$\frac{sin2α}{2+2×\frac{1-cos2α}{2}}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$．
得证．
（2）解：角α，β为锐角，且cos（α+β）sinα=sinβ=sin[（α+β）-α]，
∴cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
化简可得tan（α+β）=2tanα，即$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，
故有2tanβ•tan²α-tanα+tanβ=0，∴△=1-8tan²β≥0，
求得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，β为锐角，故0＜tanβ≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故tanβ的最大值是：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评本题主要考查两角和差的正弦公式，余弦函数公式，倍角公式，同角三角函数的基本关系的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

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