2023年山西省初中学业水平考试 定心卷文理 数学

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2023年山西省初中学业水平考试 定心卷文理 数学试卷答案

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1．求y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²-2x+3）的定义域、值域及单调区间．

分析设sinx=t，f（t）=cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，分-1≤t≤0和0＜t≤1两种情况进行证明f（t）＞0．

解答证明：设sinx=t，则-1≤t≤1，cosx=±$\sqrt{1-{t}^{2}}$，cos（cosx）=cos（±$\sqrt{1-{t}^{2}}$）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$，
∴cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
令f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
（1）当-1≤t≤0时，0≤$\sqrt{1-{t}^{2}}$≤1，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞0，sint≤0，
∴f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint＞0，
（2）当0＜t≤1时，f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-cos（$\frac{π}{2}$-t），
令g（t）=1-t²-（$\frac{π}{2}$-t）²=-2t²+πt-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1，
∵△=π²+8（-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1）=8-π²＜0，
∴g（t）＜0，1-t²＜（$\frac{π}{2}$-t）²，
∵1-t²≥0，$\frac{π}{2}-t＞0$，∴$\sqrt{1-{t}^{2}}$＜$\frac{π}{2}-t$，
又∵$\frac{π}{2}-t＜\frac{π}{2}$，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞cos（$\frac{π}{2}$-t），即f（t）＞0．
综上，f（t）＞0，∴cos（cosx）＞sin（sinx）．

点评本题考查了三角函数的性质，使用换元法转化成函数是关键．

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