2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国乙卷B理数一

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2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国乙卷B理数一试卷答案

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14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=a^x-2其中a＞0且a≠1．
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式．

分析（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时，都取得极值，则f′（1）=0，f′（-$\frac{2}{3}$）=0，就可得到a，b的值．
（2）求出极值以及端点函数值，得到最值，推出结果即可．

解答解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在x=1与x=-$\frac{2}{3}$时，都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（-$\frac{2}{3}$）=0，即3×1+2a+b=0，3×（-$\frac{2}{3}$）2+2a（-$\frac{2}{3}$）+b=0
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2．
（2）由题意可得：f（x）=x³$-\frac{1}{2}$x²-2x+c．
f（-1）=$\frac{1}{2}+c$，
f（1）=$-\frac{3}{2}$+c，
f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$+c，
f（2）=2+c，
x∈[-1，2]，f（x）取值范围：[$-\frac{3}{2}$+c，2+c]．

点评本题主要考查了函数的导数与极值，单调区间之间的关系，属于导数的应用．

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