2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国甲卷A 理数三

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2023年衡水金卷先享题分科综合卷 全国甲卷A 理数三试卷答案

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12．己知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m（m＞0）与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，求|AB|．

分析确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标

解答解：由双曲线的方程得F₁（-3，0），F₂（3，0），直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）①
将其代入双曲线方程消去y得，5x²+6x-27=0，解之得x₁=-3，x₂=$\frac{9}{5}$．
将x₁，x₂代入①，得y₁=-2$\sqrt{3}$，y₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$
∴A（-3，-2$\sqrt{3}$），B（$\frac{9}{5}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．

点评本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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