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南阳一中2023年春期高二年级第四次月考文理 数学试卷答案
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17.我国藏南地区的海拔4000多米的高山从山顶到山脚依次分布着高山草甸、针叶林、落叶阔叶林、常绿阔叶林、热带雨林等不同的植物带,动物的类群分布也有很大差别。下列说法正确的是A.在不同的海拔分布着不同的植物带,体现了群落的垂直结构B.热带雨林群落区别于其他生物群落的最重要特征是物种组成C.不同生物群落中的信息传递可以不依赖食物链进行D.生活在落叶阔叶林中的动物不能在针叶林中生存
分析求出A的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．
解答解：设切线方程为y=kx+1，切点坐标为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{ka+1=b}\\{lna=b}\end{array}\right.$，解得a=e2，b=2，∴A（e2，2）．
将y=0代入y=lnx得x=1，∴B（1，0）．
∴直线AB的方程为$\frac{y}{2}=\frac{x-1}{{e}^{2}-1}$，即y=$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$．
∴区域D的面积为${∫}_{1}^{{e}^{2}}lnxdx$-${∫}_{1}^{{e}^{2}}$（$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$）dx=（xlnx-x）${|}_{1}^{{e}^{2}}$-（$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{2}-1}$）${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2．
区域D绕x轴旋转一周所得几何体体积为π•${∫}_{1}^{{e}^{2}}（lnx）^{2}dx$-$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×（{e}^{2}-1）$=π•x[（lnx）2-2lnx+2]|$\underset{\stackrel{{e}^{2}}{\;}}{1}$-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=（2e2-2）•π-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=$\frac{2π{（e}^{2}-1）}{3}$．
点评本题考查了定积分在求面积、体积中的应用，是中档题．
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