华普教育 2023全国名校高考冲刺押题卷(一)1文理 数学

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华普教育 2023全国名校高考冲刺押题卷(一)1文理 数学试卷答案

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4．已知a为常数，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）
①求实数a的取值范围；
②求证：x₁x₂＞1．

分析根据已知函数f（x）的解析式，结合函数单调性、奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值域，分别判断四个答案的真假，即可得出结论．

解答解：∵函数D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x为有理数}\\{0，x为无理数}\end{array}\right.$，
∴函数值域为{0，1}，故A不正确；
当x为有理数时，-x必为有理数，此时f（-x）=f（x）=1；当x为无理数时，-x必为无理数，此时f（-x）=f（x）=0．故f（x）是偶函数，即B正确；
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；
当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；
即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故C不正确；
D（2）=1，D（3）=1，D（$\sqrt{2}$）=0，D（$\sqrt{3}$）=0．显然函数D（x）不是单调函数，故D不正确；
故选：B．

点评本题考查的知识点是分段函数与应用，函数的值域及函数的性质，正确理解新定义是解答的关键．

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