华大新高考联盟2023届高三10月教学质量测评(新高考卷)数学

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华大新高考联盟2023届高三10月教学质量测评(新高考卷)数学试卷答案

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5．已知f（x）=sinx+log₂$\frac{1+x}{1-x}$+1．
（1）求f（$\frac{1}{2}$）+f（-$\frac{1}{2}$）的值；
（2）若f（sinθ）＞f（cosθ），θ为锐角，求θ的取值范围．

分析（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx-1=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-1，然后将x=$\frac{π}{3}$代入求值；
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ解出单调递减区间，令x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$解得对称轴方程．

解答解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-2{cos^2}\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$sinx-cosx-1=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-1．
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{6}$-1=0．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
解得$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{3}$+2kπ，
∴f（x）的单调递减区间是[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z．
令x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
解得x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
∴f（x）的对称轴方程是x=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，化成复合三角函数是解题关键．

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