缙云教育联盟重庆市2022-2023学年(上)高三10月月度质量检测数学

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缙云教育联盟重庆市2022-2023学年(上)高三10月月度质量检测数学试卷答案

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4．设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₃a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n．

分析（1）先求出曲线C₁的普通方程，再求曲线C₁的极坐标方程为ρ²=1．由伸缩变换得曲线C₂$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosθ}\\{2y=sinθ}\end{array}\right.$，由此能求出曲线C₂的普通方程．
（2）先求出直线l的直角坐标，设P（2cosθ，$\frac{sinθ}{2}$），求出点P到直线l的距离，利用三角函数的性质能求出点P到直线l的距离的最小值．

解答解：（1）∵将曲线C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C₁的普通方程为x²+y²=1，
∴曲线C₁的极坐标方程为ρ²=1．
∵曲线C₁$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和$\frac{1}{2}$后得到曲线C₂，
∴曲线C₂$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosθ}\\{2y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴曲线C₂的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+4{y}^{2}$=1．
（2）∵直线1：ρ（cosθ+2sinθ）=4，
∴直线l的直角坐标方程为x+2y-4=0，
∵点P在曲线C₂上，∴设P（2cosθ，$\frac{sinθ}{2}$），
∴点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）-4|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{4-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}-5}{5}$．
∴点P到直线l的距离的最小值为$\frac{4\sqrt{5}-5}{5}$．

点评本题考查曲线的极坐标方程、普通方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化公式的合理运用．

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