衡中同卷2022-2023学年度高三一轮复习滚动卷(新高考版X)一数学

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衡中同卷2022-2023学年度高三一轮复*滚动卷(新高考版X)一数学试卷答案

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17．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过点P$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ） ①求椭圆C的标准方程；
②若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），椭圆的右顶点为D，且满足$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{DN}=0$，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

分析（Ⅰ）把要求得不等式去掉绝对值，化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用基本不等式求得a+4b的最小值为9，可得f（m+1）≤9，由此求得m的范围．

解答解：（Ⅰ）不等式f（x）＞|x+1|?|2x-4|+1＞|x+1|，
?$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\2x-4+1＞x+1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜2\\4-2x+1＞x+1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\4-2x+1＞-（x+1）\end{array}\right.$．
求得x＞4，或$-1＜x＜\frac{4}{3}$，或x≤-1，
于是原不等式的解集为$（-∞，\frac{4}{3}）∪（4，+∞）$．
（Ⅱ）因为$ab=a+b?\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，所以$a+4b=（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）（a+4b）≥{（\sqrt{\frac{1}{a}}•\sqrt{a}+\sqrt{\frac{1}{b}}•\sqrt{4b}）^2}=9$，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ab=a+b\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$时a+4b取得最小值9．
因为f（m+1）≤a+4b对任意a，b∈（0，+∞）都成立，
所以f（m+1）≤9?|m-1|≤4?-4≤m-1≤4，
于是，所求实数m的取值范围是-3≤m≤5．

点评本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．

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