衡中同卷2022-2023学年度高三一轮复习滚动卷(新高考版X)四数学

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衡中同卷2022-2023学年度高三一轮复*滚动卷(新高考版X)四数学试卷答案

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13．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，求函数f（x）的最大值，最小值．

分析根据各分段的函数解析式可以归纳出：x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹]时，f（x）=2^n-1-|x-3•2^n-1|，再结合函数图象解出f（x）=f（61）的最小的x．

解答解：因为x∈[2，4]时，f（x）=1-|x-3|，其值域为[0，1]，且先增后减，所以，
x∈[4，8]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[1-|$\frac{x}{2}$-3|]=2-|x-6|，值域为[0，2]，
x∈[8，16]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[2-|$\frac{x}{2}$-6|]=4-|x-12|，值域为[0，4]，
x∈[16，32]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[4-|$\frac{x}{2}$-12|]=8-|x-24|，值域为[0，8]，
x∈[32，64]时，f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2[8-|$\frac{x}{2}$-24|]=16-|x-48|，值域为[0，16]，
…，
一般地，x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹]时，f（x）=2^n-1-|x-3•2^n-1|，值域为[0，2^n-1]．
而61∈[2⁵，2⁶]，即n=5，所以，f（61）=16-|61-48|=3，
由于f（x）=f（61）=3，要使x最小，可设x∈[3，8]，
即令4-|x-12|=3，解得x=11或13，
所以，满足f（x）=f（61）的最小x的值为11．
故选：B．

点评本题主要考查了抽象函数的应用，涉及分段函数解析式的求法和函数值的确定，运用了归纳推理题的解题思想，属于中档题．

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