2023年“万友”中考突破卷（二）文理 数学

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2023年“万友”中考突破卷（二）文理 数学试卷答案

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9．已知函数$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}，x∈[{-1，1}]$，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3
（1）若a=1，证明：函数g（x）在区间[-1，0]上为减函数；
（2）求g（x）的最小值h（a）

分析（1）由a=0，解方程log₂x+2=0，可得零点；
（2）求得f（1）＞0，f（$\frac{1}{8}$）＜0，判断f（x）的单调性，再由零点存在定理，即可判断零点的个数．

解答解：（1）当a=0时，f（x）=log₂x+2=0，即log₂x=-2，
解得$x={2^{-2}}=\frac{1}{4}$，
∴函数f（x）的零点是$x=\frac{1}{4}$；
（2）当a=1时，f（x）=log₂x+x+2，
∵f（1）=（log₂1+1+2）=3＞0，$f（\frac{1}{8}）=（{log_2}\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+2）=-\frac{7}{8}＜0$，
且f（x）的图象在定义域内连续，
∴f（x）在区间$（\frac{1}{8}，1）$内有一个零点，
又∵f（x）在定义域内单调递增，
故f（x）在定义域内恰有一个零点．

点评本题考查函数的零点的求法和判断，注意运用方程的思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．

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