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2023届衡水金卷先享题·临考预测卷 新教材文理 数学试卷答案
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14．在平行四平行边形OABC中，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，点M在OA上，且$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{MA}$，N为BC的中点，则$\overrightarrow{MN}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$ | B． | $\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$ | C． | $\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$ | D． | $\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\stackrel{c}{→}$ |
分析（1）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程，
（2）设切点P（x0，y0），根据斜率公式以及切线的性质，求出切点坐标，再根据△PBM的内切圆的圆心在x轴上，求出直线l的方程，过点A作AD⊥MN，分别根据点到直线的距离公式求出圆A的半径和AD的长度，继而求出以MN为直径的圆的半径，求出直线AD的方程和，直线l的交点坐标即是以MN为直径的圆的圆心坐标，根据圆的标准方程即可求出答案．
解答解：（1）设直线l的方程是x=my-2或y=0，
∵d圆心到直线=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{|MN|}{2}）^{2}}$=1
∴$\frac{|-1-2m+2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1⇒3m2-4m=0⇒m=0或，y=0不成立，
∴直线l的方程是：x=-2或3x-4y+6=0，
（2）设切点P（x0，y0），则kAP=$\frac{{y}_{0-2}}{{x}_{0}+1}$，
又kl1=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{0-2}}{{x}_{0}+1}$•（-$\frac{1}{2}$）=-1，即y0=2x0+4，①
又x0+2y0+7=0，②，
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-3}\\{{y}_{0}=-2}\end{array}\right.$，∴P（-3，-2），又∵B（-2，0）
∴kBP=$\frac{-2-0}{-3-（-2）}$=2，
∵△PBM的内切圆的圆心在x轴上，
∴∠MBE=∠PBE
∴kBM=-kPB=-2，
∴直线L的方程为y-0=-2（x+2），即2x+y+4=0，③
∵A（-1，2），
∴R=$\frac{|-1+4+7|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{5}$，
过点A作AD⊥MN，
∴AD=$\frac{|-2+2+4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DM2=AM2-AD2=$\frac{84}{5}$，
∵kAD•kBM=-1，
∴kAD=$\frac{1}{2}$，
∴直线AD的方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x+1），即x-2y+5=0，④，
由③④构成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{13}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴以MN为直径的圆的圆心坐标为（-$\frac{13}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴以MN为直径的圆的方程为（x+$\frac{13}{5}$）2+（y-$\frac{6}{5}$）2=$\frac{84}{5}$．
点评本题考查了直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及圆的方程的求法，直线方程的求法，关键是求出关键点的坐标，本题的运算能力要求很高，需要认真仔细，属于中档题．
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