2023届全国百万联考老高考高三5月联考(5001C)文理 数学

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2023届全国百万联考老高考高三5月联考(5001C)文理 数学试卷答案

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3．已知双曲线x²一y²=1．
（1）若直线l：y=$\frac{1}{2}$x-b交双曲线于A，B两点，且|AB|=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$．求直线l方程：
（2）求以定点M（2，1）为中点的弦所在直线方程：
（3）思考以定点N（1，1）为中点＜弦存在吗？（数形结合）

分析先证△ADB≌△AEC，得出DB=EC，从而推得△DEC中三边之长就是：段AD（即DE）、线段BD（即EC）、线段CD之长．

解答证明：如右图，在AC边外，以AD为边作等边△ADE，连接EC，
∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，———-①
且∠DAB=60°-∠DAC=∠EAC，————-②
又∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，——–③
∴△ADB≌△AEC，所以，DB=EC，
即△DEC中（如图阴影）三边之长就是：
线段AD（即DE）、线段BD（即EC）、线段CD之长，
且∠EDC=∠ADC-∠ADE=150°-60°=90°，即∠EDC为直角，
因此，线段AD，BD，CD为边构成的三角形为直角三角形．

点评本题主要考查了平面几何中的证明问题，涉及正三角形的性质和三角形全等的判断，属于中档题．

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