皖江名卷·安徽省庐江县2023届初中毕业班第三次教学质量抽测文理 数学

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皖江名卷·安徽省庐江县2023届初中毕业班第三次教学质量抽测文理 数学试卷答案

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6．（1）已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的图象在点A（x₀，f（x₀））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，求tanx₀的值．
（2）对于正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，求数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和．

分析利用高阶无穷小的定义转化成极限为0，利用罗比塔法则求出要求的极限．

解答解：f（x）=${∫}_{0}^{{X}^{2}}$sintdt=-cost|${\;}_{0}^{{x}^{2}}$=1-cosx²，
构造极限$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{1-cos{x}^{2}}{{x}^{3}}$，
该极限是一个“$\frac{0}{0}$”型极限，运用洛必达法则求解，
∴$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{1-cos{x}^{2}}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{-4xcos{x}^{2}}{3}$=0，
故选：A．

点评本题考查了高阶无穷小的定义及函数极限的求法，是基础题．

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