伯乐马 2023年普通高等学校招生新高考模拟考试(八)文理 数学

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伯乐马 2023年普通高等学校招生新高考模拟考试(八)文理 数学试卷答案

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9．已知直线l₁，l₂，l₃的斜率分别是k₁，k₂，k₃，其中l₁∥l₂，且k₁，k₃是方程2x²-3x-2=0的两根，则k₁+k₂+k₃的值是（　　）

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出l的直角坐标方程，由cos²α+sin²α=1，能求出C的直角坐标方程．
（2）求出C上的点（2cosθ，sinθ）到直线x-y+4=0的距离，利用三角函数性质能求出C上的点到l距离的最大值和最小值．

解答解：（1）∵直线l的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+4=0，
ρcosθ=x，ρsinθ=y
∴l的直角坐标方程为x-y+4=0．
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
cos²α+sin²α=1，
∴C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴C上的点（2cosθ，sinθ）到直线x-y+4=0的距离：
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\sqrt{5}sin（θ+α）+4|$，
∴C上的点到l距离的最大值为${d}_{max}=\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$，最小值为${d}_{min}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$．

点评本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查点到直线距离的最值的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理运用．

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