江西上饶市六校2023届高三第二次联考(5月)文理 数学

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试题答案

江西上饶市六校2023届高三第二次联考(5月)文理 数学试卷答案

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10.过抛物线y2=4x的焦点F作圆C:x2+y2-8x+m=0的切线,切点为M、N,且|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
(1)求实数m的值:
(2)若m>12,直线l经过点F,与抛物线交于点A、B,是否存在直线l,使AB为直径的圆与圆C外切,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明则由.

分析(1)设B(a,b),C(c,d),由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a-2}=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$,且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d-5}{c-2}=1}\\{c+1=0}\end{array}\right.$,求出B(-2,5),C(-1,-2),由此能求出△ABC的边BC所在直线的方程.
(2)设B(a,b),C(c,d),由已知得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}+1=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$,且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+c}{2}+\frac{5+d}{2}-3=0}\\{c+1=0}\end{array}\right.$,求出B(-2,5),C(-1,-2),由此能求出△ABC的边BC所在直线的方程.
(3)设B(a,b),C(c,d),求出11、l2的交点I,l1,l2的夹角∠BIC,从而得到∠A=90°,求出直线AI,进而求出直线AB、AC,由此能求出求出B(-2,5),C(-1,-2),由此能求出△ABC的边BC所在直线的方程.

解答解:(1)设B(a,b),C(c,d)
∵点A(2,5),直线l1:x+1=0,l2:x+y-3=0,
11、l2分别是边AB、AC上的高所在直线的方程,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a-2}=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$,且$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d-5}{c-2}=1}\\{c+1=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$,
∴B(-2,5),C(-1,-2),
∴△ABC的边BC所在直线的方程为:
$\frac{y+2}{x+1}=\frac{5+2}{-2+1}$,整理,得:7x+y+9=0.
(2)设B(a,b),C(c,d),
∵点A(2,5),直线l1:x+1=0,l2:x+y-3=0,
11、l2分别是边AB、AC上的中线所在直线的方程,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}+1=0}\\{a+b-3=0}\end{array}\right.$,解得a=-4,b=7,∴B(-4,7),
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+c}{2}+\frac{5+d}{2}-3=0}\\{c+1=0}\end{array}\right.$,解得c=-1,d=0,∴C(-1,0),
∴△ABC的边BC所在直线的方程为:
$\frac{y}{x+1}=\frac{7}{-4+1}$,整理,得:7x+3y+7=0.
(3)设B(a,b),C(c,d),
∵点A(2,5),直线l1:x+1=0,l2:x+y-3=0,
11、l2分别是∠B、∠C的角平分线所在直线的方程,
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$,得11、l2的交点I(-1,4),
l2:x+y-3=0的斜率k2=-1,倾斜角α2=135°,
l1:x+1=0的倾斜角α1=90°,
∴l1,l2的夹角∠BIC=135°,∴∠A=90°,
直线AI:$\frac{y-4}{x+1}=\frac{5-4}{2+1}$,整理,得x-3y+13=0,
设AI的倾斜角为b,kAI=tanb=$\frac{1}{3}$,
kAB=tan(b-45°)=$\frac{tanb-tan45°}{1+tanbtan45°}$=$\frac{\frac{1}{3}-1}{1+\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{2}$,
kAC=tan(b+45°)=$\frac{tanb+tan45°}{1-tanbtan45°}$=$\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}$=2,
∴直线AB:y-5=-$\frac{1}{2}$(x-2),整理,得x+2y-12=0,
直线AC:y-5=2(x-2),整理,得:2x-y+1=0,
解方程:$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-12=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$,得x=-6,y=9,∴B(-6,9),
解方程:$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+1=0}\end{array}\right.$,得x=-1,y=-1,∴C(-1,-1),
∴△ABC的边BC所在直线的方程为:
$\frac{y+1}{x+1}=\frac{10}{-5}$,整理,得:2x+y+3=0.

点评本题考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意中点坐标公式、直线垂直的性质、夹角公式、直线方程等知识点的合理运用.

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