河北省2022-2023学年2023届高三下学期第二次模拟考试文理 数学

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河北省2022-2023学年2023届高三下学期第二次模拟考试文理 数学试卷答案

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19．正方形的四个顶点都在函数y=x³+mx的图象上，若满足条件的正方形只有一个，则实数m=-2$\sqrt{2}$．

分析可画出图形，根据条件可设A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），然后可过O作OD⊥AB，并交AB于D，连接CD，可以求出OD的长度，而根据三垂线定理能够说明∠ODC=45°，从而便可得出a的值．

解答解：如图，设A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，a），则：
在Rt△OAB中，OA=3，OB=4；
∴AB=5；
过O作OD⊥AB，垂足为D，并连接CD，则：3•4=5•OD；
∴OD=$\frac{12}{5}$；
∵OC⊥平面OAB，OD⊆平面OAB，且OD⊥AB；
∴根据三垂线定理得：CD⊥AB；
∴∠ODC是平面ABC和平面OAB所成二面角的平面角，根据题意知该角为45°；
∴OC=OD=$\frac{12}{5}$；
∴$a=\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评考查对空间直角坐标系的认识，能找到空间点的位置，理解平面与平面所成角的概念，平面和平面所成二面角的平面角的概念，能找到二面角的平面角，以及三垂线定理．

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