[雅安三诊]2023届雅安市高2020级第三次诊断性考试文理 数学

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[雅安三诊]2023届雅安市高2020级第三次诊断性考试文理 数学试卷答案

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13．对于函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象给出三个命题：下述命题中正确命题的序号是（1），（2），（3）．
（1）存在直线l₁，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=100•10^x的图象关于直线l₁对称；
（2）存在直线l₂，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=log_0.1$\frac{x}{100}$的图象关于直线l₂对称；
（3）存在直线l₃，函数y=lg$\frac{x}{100}$的图象与函数y=log_0.1x的图象关于直线l₃对称．

分析先证$\frac{n-1}{n}$＜$\frac{n}{n+1}$，再分别令n=2，4，6，…，24，将这12个不等式相乘，即可证明原命题．

解答证明：因为$\frac{1}{n}$＞$\frac{1}{n+1}$（n≥2）恒成立，
所以，1-$\frac{1}{n}$＜1-$\frac{1}{n+1}$，即$\frac{n-1}{n}$＜$\frac{n}{n+1}$，
所以，分别令n=2，4，6，…，24得，
$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$＜$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{6}$＜$\frac{6}{7}$，…，$\frac{23}{24}$＜$\frac{24}{25}$，
将这12个不等式同向相乘得，
$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$＜$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{24}{25}$，
两边再同时乘以：$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$（即左式）得，
（$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$）²＜（$\frac{2}{3}$•$\frac{4}{5}$•$\frac{6}{7}$…$\frac{24}{25}$）•（$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$）=$\frac{1}{25}$，
两边开方得，$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$…$\frac{23}{24}$＜$\frac{1}{5}$，即证．

点评本题主要考查了运用综合法证明不等式，其中$\frac{n-1}{n}$＜$\frac{n}{n+1}$是证明的关键，属于中档题．

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